حل کاردرکلاس صفحه 73 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 73 ریاضی دهم - بخش ۱ سلام! این فعالیت مفهوم اساسی روش **مربع کامل کردن** (Completing the Square) را توضیح می‌دهد که کلید حل معادلات درجه دوم است. این روش، یک عبارت جبری را به یک اتحاد مربع کامل تبدیل می‌کند: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ ### **تکمیل مربع کامل** ما می‌خواهیم $x^2 + 6x + \text{?} = (x + \text{?})^2$ برقرار باشد. **گام ۱: تعیین جمله‌ی دوم در پرانتز** در اتحاد مربع کامل، جمله‌ی میانی ($6x$) برابر با **دو برابر حاصل‌ضرب جمله‌ی اول در جمله‌ی دوم** ($2ab$) است. در اینجا $a=x$. $$2(x)(b) = 6x \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3$$ **پاسخ جای خالی دوم:** $(x + \mathbf{3})^2$ **گام ۲: تعیین جمله‌ی ثابت** جمله‌ی ثابت باید برابر با **مربع جمله‌ی دوم** ($b^2$) باشد: $$b^2 = 3^2 = 9$$ **پاسخ جای خالی اول:** $x^2 + 6x + \mathbf{9}$ ### **ارتباط با شکل** **شکل هندسی** مفهوم مربع کامل کردن را به خوبی نشان می‌دهد: * **ناحیه‌ی سبز:** مساحت $x \times x = x^2$ (جمله‌ی اول) * **ناحیه‌های آبی کمرنگ (دو مستطیل):** مساحت‌های $3x$ و $3x$ که جمع آن‌ها $6x$ (جمله‌ی میانی) است. $\mathbf{3x + 3x = 6x}$ * **ناحیه‌ی نقطه‌چین (مربع کوچک):** مساحت $3 \times 3 = 9$. این همان **ناحیه‌ی کمبود** برای ساختن یک مربع کامل به ضلع $(x+3)$ است. **ارتباط:** عددی که به دو جمله اضافه شد ($athbf{9}$) برابر با مساحت مربع کوچک نقطه‌چین است. و عدد داخل پرانتز ($athbf{3}$) برابر با طول ضلع این مربع کوچک و عرض مستطیل‌های کناری است. برای تبدیل مستطیل $x^2 + 6x$ به یک **مربع کامل** به ضلع $(x+3)$، باید مساحت $\mathbf{3^2 = 9}$ به آن افزوده شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 73 ریاضی دهم - بخش ۲ این بخش، **قانون کلی** روش مربع کامل کردن را به دست می‌دهد. با استفاده از این قانون می‌توانید هر دو جمله‌ی $x^2 + ax$ را به مربع کامل تبدیل کنید. **گام ۱: تعیین جمله‌ی دوم در پرانتز** جمله‌ی میانی $ax$ باید برابر با $2(x)(b)$ باشد: $$2xb = ax \Rightarrow b = \frac{ax}{2x} \Rightarrow b = \mathbf{\frac{a}{2}}$$ **پاسخ جای خالی دوم:** $(x + \mathbf{\frac{a}{2}})^2$ **گام ۲: تعیین جمله‌ی ثابت (جمله‌ای که باید اضافه شود)** جمله‌ی ثابت باید برابر با مربع جمله‌ی دوم باشد ($b^2$): $$b^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \mathbf{\frac{a^2}{4}}$$ **پاسخ جای خالی اول:** $x^2 + ax + \mathbf{\frac{a^2}{4}}$ ### **قانون کلی مربع کامل کردن** برای مربع کامل کردن یک عبارت به شکل $x^2 + ax$، باید **مربع نصف ضریب $x$** را به آن اضافه کنیم: $$\mathbf{x^2 + ax + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{a}{2}\right)^2}$$ این قانون، پایه‌ی اثبات فرمول کلی حل معادلات درجه دوم است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 73 ریاضی دهم در این تمرین، از روش **ریشه‌گیری** (تبدیل معادله به فرم $X^2 = A$) برای حل معادلات استفاده می‌کنیم. این روش سریع‌ترین راه حل برای معادلات درجه دومی است که جمله‌ی $x$ یا $t$ یا $r$ ندارند. --- ### **الف) $\mathbf{5x^2 = 20}$** **گام ۱: ساده‌سازی و آماده‌سازی برای ریشه‌گیری** ابتدا $x^2$ را تنها می‌کنیم: $$x^2 = \frac{20}{5}$$ $$x^2 = 4$$ **گام ۲: ریشه‌گیری** چون $4 > 0$ است، دو جواب حقیقی داریم: $$x = \pm \sqrt{4}$$ $$\mathbf{x_1 = 2} \quad \text{و} \quad \mathbf{x_2 = -2}$$ --- ### **ب) $\mathbf{t^2 + 7 = 0}$** **گام ۱: آماده‌سازی برای ریشه‌گیری** $$t^2 = -7$$ **گام ۲: ریشه‌گیری و بحث در مورد وجود جواب** چون مربع هر عدد حقیقی ($t^2$) همواره **نامنفی** است، هرگز نمی‌تواند برابر با یک عدد **منفی** ($-7$) باشد. $$\text{جواب‌ها: } \mathbf{\text{وجود ندارد (در } \mathbb{R} \text{)}}$$ --- ### **پ) $\mathbf{(2r - 1)^2 = 16}$** **گام ۱: ریشه‌گیری (از کل عبارت در پرانتز)** $$2r - 1 = \pm \sqrt{16}$$ $$2r - 1 = \pm 4$$ **گام ۲: تفکیک دو حالت و حل معادلات خطی** 1. **حالت مثبت:** $2r - 1 = 4$ $$2r = 4 + 1 \Rightarrow 2r = 5 \Rightarrow \mathbf{r_1 = \frac{5}{2}} \quad \text{یا} \quad 2.5$$ 2. **حالت منفی:** $2r - 1 = -4$ $$2r = -4 + 1 \Rightarrow 2r = -3 \Rightarrow \mathbf{r_2 = -\frac{3}{2}} \quad \text{یا} \quad -1.5$$ $$\text{جواب‌ها: } r = \frac{5}{2} \text{ و } r = -\frac{3}{2}$$